Моделювання дослідження волатильності опціонів
У роботі розглянуто шляхозалежну модель волатильності, яка на відміну від стандартних локальних або стохастичних моделей волатильності, у випадку раптового падіння ринку, може бути використана для автоматичного підвищення рівня волатильності з метою гармонізації динаміки фондового ринку. Встановлено структуру моделі волатильності для дослідження значень цін опціонів.
Природу волатильності як стохастичного процесу можна пояснити на значній кількості емпіричних даних, які обґрунтовують властивості розподілів, що виступають при трансформації витрат [1]. Стохастична волатильність може також виникнути ендогенно за допомогою рівноваги, яка моделює поведінку учасників ринку. Дуже часто використання правдоподібних параметрів, аналогічно, як при від’ємній кореляції між волатильністю і ціною, на практиці не відповідає фактичним цінам опціонів. При емпіричній верифікації відбувається пошук структурних параметрів за допомогою відбору істотно різних часових рядів для проведення оцінки. В цьому сенсі фактично, в науковій літературі [2] постає проблема щодо складу моделі. Будемо встановлювати структуру моделі волатильності перед дослідженням значень цін опціонів.
Розглядаючи теорію ціноутворення опціонів Блека-Мертона-Шоулза, базовий актив моделюється як геометричний броунівський рух, динаміка якого задається як
\[ dS_t=rS_t dt+σS_t dW_t \tag{1}\]
де – локальна безризикова відсоткова ставка, а – волатильність, якщо параметри є константами, то модель Формула 1 дає формули для простих опціонів.
У моделі місцевої змінної змінна є детермінованою функцією часу та поточної ціни базового активу. Для броунівського руху W позначимо через St біржову ціну, а через Mt і Dt відповідно тенденції і відхилення процесів
\[ \begin{align*} M_t=λe^(-λt) ∫_(-∞)^t〖e^λs Z_S ds,λ>0〗, \\ D_t=Z_t-M_t, \end{align*} \tag{2}\]
де \(Z_t=log(e^(-rt) S_t )\) є логарифмом дисконтної ціни процесу. Функції \(e^(s)\) в Формула 2 є ваги, а параметр описує ставку, за якою знижуються ціни. Припустимо що St є процесом Іто, розв’язком стохастичного диференціального рівняння
\[ dS_t=μ(D_t ) S_t dt+σ(D_t ) S_t dW_t, \tag{3}\]
де m і \(σ>0\) є обмеженими функціями, які задовольняють сформульовані гіпотези, з тим щоб гарантувати, що система Формула 2 – Формула 3 має розв’язок. Особливістю моделі є те, що процес марковський. Ціна U опціону з терміном погашення T, має вигляд
\[ U(S_t,t)=e^(-r(T-t) ) Ku(r(T-t)+log(S_t/K),M_t-logK,T-t), \tag{4}\]
де – початкова ціна опціону, u=u(x,y,t) є розв’язком задачі Коші
\[ \begin{align*} (σ^2 (x-y))/2 (∂_xx u-∂_x u)+(x-y)λ∂_y u-∂_t u, \\ R^2×[0,T], \end{align*} \tag{5}\]
\[ \begin{align*} u(x,y,0)=(e^x-1)^+ \\ (x,y)∈R^2. \end{align*} \tag{6}\]
Введемо до розгляду модель для цін активів зі змінною залежною від минулого. Розглянемо середню вагу ϕ, яка є невід’ємною, кусково-неперервною і інтегровною функцією на ├ -∞,T┤ і строго додатною на [0,T]
\[ Φ(t)=∫_(-∞)^tϕ(s) ds, \tag{7}\]
якщо ϕ має компактний носій, то в цьому випадку область інтегрування в (6) обмежена. Позначимо через r безризикову ставку. Визначимо процес \(M_t=1/Φ(t) ∫_(-∞)^tϕ(s) Z_s ds\) або еквівалентно \(dM_t=ϕ(t)/Φ(t) (Z_t-M_t )dt\), де Z_t є розв’язком диференціального рівняння
\[ dZ_t=μ(Z_t-M_t )dt+σ(Z_t-M_t )dW_t, \tag{8}\]
а μ і σ обмежені неперервні за Гельдером функції та σ>0.
Можемо зробити висновок, що значення імплікованої волатильності зростає при зменшенні . Тобто існує тісний взаємозв’язок між змінною та ринковими цінами. Зауважимо також, що шляхозалежність волатильності включає інформацію про минуле, і потім, коли все налаштоване на ринку, модель відображає позитивні або негативні тенденції активу. Тому модель користується великою популярністю серед дослідників ринку опціонів [2].
Доведено, що шляхозалежна волатильність володіє минулою інформацією та дозволяє моделювати поведінку інвесторів в різних ринкових умовах, а також відображає позитивні або негативні тенденції використання фінансового інструменту.
Література
- . Burtnyak, І.V. Malytska A. Simulation of stock market prising using the model CEV. The actual problems of regional ecomomy development, 2021, 41-47.
- Буртняк І.В. Моделі використання реальних опціонів для прийняття інвестиційних рішень // Моделі системного аналізу в управлінні економічними процесами /Під ред. В.С. Пономаренко, Т.С. Клебанової, Л.С.Гурьянової– Братислава-Харків, ВШЕМ–ХНЕУ ім. С.Кузнеця, 2021. – 476 с.