Моделювання рівня незадоволення потреб мешканців малих міст при постачанні питної води в екстремальних випадках
Робота присвячена проблемі забезпечення водопостачання малих населених пунктів в екстремальних випадках. Автори раніше сформулювали та розв’язали задачу створення системи підтримки прийняття рішень, яка дозволяє при наявності даних про кількість жителів у кожному районі та відстанях між районами розрахувати оптимальний маршрут пересування цистерни з водою, визначити оптимальну кількість цистерн та місця їх найкращого розташування в кожному районі для максимального задоволення всіх його мешканців. Зараз наведено математичну модель розрахунку спеціального коефіцієнта, який дозволяє оцінити рівень незадоволення потреб мешканців. Наведено приклад використання розробленої моделі під час розрахунку маршруту та положення цистерн, що забезпечують м. Торецьк Донецької області.
Система водопостачання, яка діє у більшості невеликих українських міст, може бути порушена в результаті екстремальних подій, і доставляння води споживачеві буде здійснюватися за допомогою спеціалізованого автотранспорту. У районах (мікрорайонах, окремих кварталах) міста розташовуються тимчасові пункти розливу питної води з автоцистерн у тару споживача [1].
Автори сформулювали та розв’язали задачу створення системи підтримки прийняття рішень, яка дозволяє при наявності даних про кількість жителів у кожному районі та відстанях між районами розрахувати оптимальний маршрут пересування цистерни з водою. З використанням низки параметрів система дозволяє скласти розклад (графік) руху цистерни, а також дати рекомендації щодо збільшення кількості цих цистерн і оптимального їхнього розподілу по районах [2-3]. Також було поставлено та вирішено [4] наступне завдання: визначити в кожному районі таке місце розміщення цистерни, щоб воно було рівновіддаленим від усіх прилеглих будинків з урахуванням кількості мешканців. Ще одна можливість, яку надав новий модуль користувачам – це визначення точних координат розташування цистерни на місцевості за допомогою гугл-карт [5].
Було поставлене завдання визначення нового коефіцієнта, що дозволив би оцінити рівень задоволення потреб населення в забезпеченні питною водою. Приймаємо такі дані:
\(N\) – кількість факторів, що впливають на якість виконання завдання;
\(d_{i\ real}, i = 1...N\) – значення i-го фактора, розрахованого для реальних даних;
\(d_{i\ optimal}, i = 1...N\) – значення i-го фактора, розрахованого для оптимальних даних;
\(k_i, i = 1...N\) – коефіцієнт перевищення значення фактора, який можна розрахувати як \(d_{i\ real} / d_{i\ optimal}\) (приймаємо \(k_{i\ optimal} = 1\)).
Таким чином, коефіцієнт оцінки рівня задоволення потреб населення в забезпеченні питною водою в загальній постановці можна записати так (зважаючи на його прагнення до оптимального значення, тобто до одиниці):
\[ K=(∑_{i=1}^N k_i )/N≥1 \tag{1}\]
В [2-4] було визначено трійку впливових факторів, а саме:
- Кількість спеціалізованих машин (автоцистерн), які доставляють воду.
- Маршрут руху спеціалізованої техніки.
- Місце розташування цистерни у районі (таке, щоб воно було рівновіддаленим від усіх прилеглих будинків та максимально зручним для мешканців).
Бажана кількість спеціалізованих машин розраховується в [3], тому першим фактором приймаємо віднесення об’єму рекомендованої видачі максимально можливої кількості літрів на одну людину до розрахункової:
\[ k_1= \begin{cases} \frac{V_{rec}/V_{calc},\ якщо>1}{1,\ інакше} \end{cases} \tag{2}\]
\[ V_{calc}=\frac{N⋅V_{auto}}{S_{hab} Out} \tag{3}\]
де:
\(V_{rec}\) – рекомендована видача максимально можливої кількості літрів на одну людину;
\(V_{calc}\) – розрахована видача максимально можливої кількості літрів на одну людину;
\(N\) – кількість цистерн;
\(V_{auto}\) – об’єм однієї цистерни;
\(S_{hab}\) – кількість населення, яке мешкає в означених районах;
\(Out\) – доля населення, яке виходить за водою.
Параметри \(V_{rec}\) та \(Out\) визначаються заздалегідь та є константами, інші мають бути розраховані. У нашому прикладі [2-4]: \(V_{rec} = 18\) літрів, \(V_{auto} = 4000\), \(Out = 0,01\) (приймаємо як константи), \(V_{calc} = 4000 / (34378 * 0,01) = 11,64\) літрів, \(k_1 = 18 / 11,64 = 1,55\). Якщо взяти до уваги рекомендацію збільшення кількості цистерн хоча б до двох, то на кожну цистерну прийдеться менша кількість населення, і Vcalc прийме значення від 23,27 літра, а \(k_1 = 1\).
Розрахунок оптимального маршруту руху спеціалізованої техніки та складання його графіку наведено в [2-3]; також там є список M районів міста із зазначенням чисельності населення \(S_i\) в кожному (всього в місті \(S_s=∑_{i=1}^MS_i\) жителів) та таблиця відстаней між районами з урахуванням можливості або заборони прямого проїзду між кожною парою районів:
\[ F(X)=∑_{i=1}^M∑_{j=1}^M C_{ij} X_{ij} → min \tag{4}\]
де:
\(M\) – кількість мікрорайонів з зупинками цистерни для споживачів води;
\(C_{ij}, i, j = 1..M\) – «матриця витрат», де \(C_{ij}\) – «витрати на перехід» з i-го мікрорайону в j-й, тобто відстань між цими мікрорайонами;
\(X_{ij}\) – матриця переходів з компонентами:
- \(X_{ij} = 1\), якщо цистерна робить переїзд з i-го мікрорайону в j-й,
- \(X_{ij} = 0\), якщо цистерна не виконує переїзд, \(i, j = 1..M, i ≠ j\).
Для розрахунку другої складової коефіцієнту можна використати «час у дорозі», тобто скільки часу потрібно цистерні для переміщення та видачі води:
\[ k_2=\frac{t_{real}}{t_{optm}} \tag{5}\]
де:
\(t_{real}\) – наявний час у дорозі;
\(t_{optimal}\) – час, який було розраховано у [3].
У нашому прикладі ці параметри майже однакові: \(t_{real} = 540\) хвилин, \(t_{optimal} = 526\) хвилин, \(k_1 = 540 / 526 = 1,03\).
Останній пункт математично описано так [4]. У кожному з M районів є \(H_i\) будинків (\(i = 1..M\)), кожен будинок \(D_j (j = 1..H_i)\) має умовні координати \(D_{jx}\) та \(D_{jy}\), Необхідно визначити такі \(C_{ix}\) та \(C_{iy}\), щоб середня відстань від будинку до центру збору (розташування машини) була мінімальною:
\[ F_i (C_{ix},C_{iy})=\frac{∑_{j=1}^{H_i}\sqrt{(D_{jx}-C_{ix} )^2+(D_{jy}-C_{iy} )^2 }}{M_i} → min, i=1..M \tag{6}\]
Знаходження центрів сукупностей будинків здійснюватимемо в такий спосіб. Спочатку знаходимо попередні координати:
\[ C_{ix}=\frac{∑_{j=1}^{M_i}D_{jx} }{H_i}, C_{iy}=\frac{∑_{j=1}^{M_i}D_{jy} }{H_i} i=1..M \tag{7}\]
Потім уточнюємо ці координати методом покоординатного спуску [6]. Також використовуємо такі припущення: координатами будинку вважаємо його «геометричний центр»; оскільки в кожному районі розташовані будинки приблизно однакової поверховості, кількість мешканців у кожному будинку розраховуємо пропорційно до площі цього будинку [4].
Для розрахунку третьої складової нашого коефіцієнта використаємо середню відносну віддаленість від розрахованого центру, тобто (для приведення даних) – відносні координати:
\[ k_3=1+(∑_{i=1}^M(( \frac{|R_{ix}-C_{ix} |}{C_{ix}} + \frac{|R_{iy}-C_{iy} |}{C_{iy}} )/2) )/M \tag{8}\]
де:
\(C_{ix}, C_{iy}\) – розраховані координати оптимального центру i-го району, \(i = 1..M\);
\(R_{ix}, R_{iy}\) – реальні координати розміщення цистерни в i-му районі.
Остаточно формула коефіцієнта оцінки рівня задоволення потреб населення під час постачання жителям малих міст питної води в екстремальних випадках буде виглядати таким чином:
\[ K=( \begin{cases} \frac{V_{rec}/V_{calc},\ якщо>1}{1,\ інакше} + \frac{t_{real}}{t_{optm}} + 1+(∑_{i=1}^M(( \frac{|R_{ix}-C_{ix} |}{C_{ix}} + \frac{|R_{iy}-C_{iy} |}{C_{iy}} )/2) )/M \end{cases} )/3 \ge 1 \tag{9}\]
Далі потрібно внести зміни в існуючий додаток для можливості здійснення розрахунків.
Література
- Закон України «Про питну воду, питне водопостачання та водовідведення» (Відомості Верховної Ради України (ВВР), 2002, № 16) // URL: https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2047-19. Дата звернення: 21.10.2022.
- Закабула О.Ю. Задача розрахунку оптимального забезпечення жителів невеликих міст питною водою в екстремальних // Наукові записки молодих учених, 2020. – №6.– https://phm.cuspu.edu.ua/ojs/index.php/SNYS/article/view/1749.
- Закабула О.Ю. Моделювання оптимального маршруту проїзду автоцистерни для забезпечення невеликого міста питною водою в екстремальних / О.Ю. Закабула, О.Ю. Мельников // Матеріали IІІ Всеукраїнської науково-практичної інтернет-конференції студентів, аспірантів та молодих вчених за тематикою «Сучасні комп’ютерні системи та мережі в управлінні»: збірка наукових праць / Під редакцією Г.О. Райко. – Херсон: Видавництво ФОП Вишемирський В. С., 2020. – C.238-241.
- Мельников О. Ю. Модуль визначення розташування цистерн в системі підтримки прийняття рішень для оптимального забезпечення жителів невеликих міст питною водою в екстремальних випадках / О.Ю. Мельников, О.Ю. Закабула // Сучасні інформаційні технології, засоби автоматизації та електропривод : матеріали V Всеукраїнської науково-технічної конференції / За заг. ред. О. Ф. Тарасова. – Краматорськ : ДДМА, 2021. – http://dspace.dgma.donetsk.ua/handle/DSEA/799
- Закабула О. Ю. Використання гугл-карт у модулі розміщення цистерн в системі підтримки прийняття рішень для оптимального забезпечення жителів невеликих міст питною водою в екстремальних випадках / О.Ю. Закабула, О.Ю. Мельников // Математичні методи, моделі та інформаційні технології у науці, освіті, економіці, виробництві: збірник тез ІІІ Всеукраїнської науково-практичної Інтернет-конференції з проблем вищої освіти і науки, м. Маріуполь, 28 квітня 2021 р. / Маріупольський державний університет. – Маріуполь: МДУ, 2021. – С.73-76.
- Григорків В. С. Оптимізаційні методи та моделі: підручник / В. С. Григорків, М. В. Григорків. – Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2016. – 400 с.