Використання стохастичного домінування для аналізу рішень в умовах ризику
В умовах ризику кожному можливому рішенню відповідає певний імовірнісний розподіл важливих для особи, що приймає рішення (ОПР) результатів. В прикладних задачах стохастичної оптимізації відповідна невизначеність часто зводиться до чисельних характеристик імовірнісних розподілів, таких як математичне сподівання та дисперсія. Широко відомим прикладом такого підходу є модель Марковіца [1], де вибір інвестиційного портфелю здійснюється за критерієм максимальної доходності при заданій дисперсії або мінімальної дисперсії при заданій доходності.
Проте, в багатьох випадках такий підхід дає дуже обмежену характери¬стику ризиків, пов’язаних з можливими рішеннями. Як приклад, розглянемо дві випадкові змінні X_1∈{1,2} та X_2∈{2,4} з рівними ймовірностями кожного результату. Для цих змінних M[X_1]<M[X_2], але D[X_1]<D[X_2]. Отже, в рамках парадигми «доходністьризик» цілком можливо, що ОПР, який ухиля¬ється від ризику, надасть перевагу X_1. Але це не має жодного економічного сенсу, адже X_2≥X_1.
Більш обґрунтованим підходом до оцінки альтернатив може бути критерій стохастичного домінування [2], який базується на функції розподілу результа¬тів, пов’язаних з обранням певної альтернативи. Він визначається у наступний спосіб. Нехай X_i випадкова величина, що характеризує виграш від вибору і-ї альтернативи (чим більше, тим краще), а F_i (x)=Pr{ X_i≤x} функція розподілу цієї випадкової величини. Альтернатива i стохастично домінує альтернативу j, якщо F_i (x)≤F_j (x) для будь-якого х і існує хоча б одне значення z, для якого F_i (z)<F_j (z). Іншими словами, ймовірність отримання виграшу, вищого ніж х, для альтернативи i ніколи не гірше (а іноді краще), ніж для альтернативи j. Можна показати, що для відношення стохастичного домінування між альтернативами i та j справедливі наступні твердження [2];
- якщо вподобання ОПР задаються зростаючою функцією корисності u(x), то M[u(X_i)]≥M[u(X_j)];
- існує декомпозиція X_i=X_j+d(x), де d(x)≥0 і існує хоча б одне значення z, для якого d(z)>0. На жаль, у більшості випадків критерій стохастичного домінування не дозволяє обрати єдину найкращу альтернативу. Проте, часто на його основі можна відкинути велику кількість домінованих альтернатив і встановити властивості стратегій, сумісних з раціональною поведінкою ОПР. В якості прикладу можна навести задачу реалізації неподільного товару на обмеженому інтервалі часу споживачам, які мають випадкові оцінки його вартості [3]. Можна показати, що для цього випадку стохастично недомінованою з точки зору продавця є стратегія «зняття вершків», тобто поступового зниження цін на товар, що реалізується.
Отже, критерій статистичного домінування є корисним інструментом при аналізі рішень в умовах стохастичної невизначеності.
Література
- Markowitz, H. M. (1990). Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil, Blackwell.
- Levy, H. (2015). Stochastic dominance: Investment decision making under uncertainty. Berlin, Springer.
- Melnikov, O. (2023). Heuristic rules for the dynamic pricing problem. Organizations and Markets in Emerging Economies, vol. (14), pp. 436457.