ОЦІНКА ПРЕДИКТИВНОЇ ЗДАТНОСТІ ЛОКАЛЬНОЇ ВОЛАТИЛЬНОСТІ НА АМЕРИКАНСЬКОМУ РИНКУ АКЦІЙ

Бондаренко М.В.
maksym_bondarenko@outlook.com
Консультант CapFi Groupe (Франція)

Актуальність теми зумовлено необхідністю якісного прогнозування ринкової волатильності різними учасниками ринку і можливістю використання сучасної моделі локальної волатильності задля досягнення цієї мети.

Метою дослідження є оцінка предиктивної здатності лінійних моделей на базі часових рядів локальної волатильності [1] «у грошах», отриманих з даних цін на опціони Microsoft.

Ряд вчених, зокрема Christensen [2], вважають неявну волатильність «у грошах» хорошою мірою очікуваної варіації ціни на акцію. Саме через це прогнозування такої міри може мати практичне застосування в арбітражі та оцінці опціонів. Основним доробком Крістенсена є калібрування неявної волатильності на базі не перетинаючихся даних за довгий період часу. В цій роботі ми використовуємо коротший проміжок часу, шо не дозволяє використати тільки дані, що не перетинаються. Скалібрувавши матрицю локальної волатильності \(\sigma(K,T)\) у різних точках часу в минулому, вибудовуємо часові ряди локальної волатильності.

Для вхідних даних обрано ціни на ванільні опціони (кол) на акції Microsoft з біржі Nasdaq в кризовий період пандемії з січня по квітень 2020 [3].

На базі цих даних виконано чотири завдання:

  • проведено оцінку якості і предиктивної здатності дати калібрування в лінійній моделі залежності з локальною волатильністю «у грошах»;
  • проведено оцінку якості і предиктивної здатності локальної волатильності в лінійній моделі залежності з неявною волатильністю «у грошах»;
  • проведено оцінку якості і предиктивної здатності локальної волатильності в однофакторній лінійній моделі залежності з ринковою волатильністю;
  • проведено оцінку якості і предиктивної здатності локальної волатильності в багатофакторній лінійній моделі залежності з ринковою волатильністю.

Для перевірки припущень щодо нормального розподілу похибки, необхідних для використання лінійної регресії, проведено аналіз графіків розподілу похибок.

Оцінка якості моделі після розрахунку коефіцієнтів регресії для кожного значення Т (експірації) виконана з застосуванням наступних індикаторів:

  • коефіцієнт детермінації (R^2) для перевірки якості опису даних з вибірки моделлю [4];
  • t та F-статистика для перевірки гіпотези про значущість параметра регресії в моделі та моделі в цілому відповідно [5];
  • тест Дарбіна-Уотсона [6] для перевірки наявності автокореляції в даних.

Оцінка предиктивної здатності моделі проведена з використанням показника MSE (середнє квадратичне відхилення) на точках крос- та предиктивної валідації [7]:

\[ \text{MSE}_{T} = \ \sum_{t}^{}\frac{\text{abs}(Y_{T}(t) - \hat{Y_{T}(t)})}{Y_{T}(t)}, \tag{1} \]

де Т – експірація, для якої розраховується відхилення модельних даних від реальних, t – точка (дата) валідації.

Оцінка якості і предиктивної здатності дати калібрування в лінійній моделі залежності з локальною волатильностю «у грошах».

Побудовано модель залежності між власне датою калібрування t та локальною волатильністю «у грошах» для кожної експірації Т. Це моделювання має на меті підтвердити чи спростувати гіпотезу по можливість прогнозувати майбутні значення локальної волатильності на основі історичних значень локальної волатильності.

Побудовано лінійну однофакторну регресію залежності між локальною волатильністю у грошах і часом (просту та поліноміальну):

\[ \hat{\text{LocalVol}_{T}(t)} = a_{T} + b_{T}*t; \tag{2} \]

\[ \hat{\text{LocalVol}_{T}(t)} = a_{T} + b_{T}*t + c_{T}*t^{2} + d_{T}*t^{3}, \tag{3} \]

де \(\text{LocalVol}_{T}(t)\) – модельне значення локальної волатильності в точці t, t – дата калібрування, a,b,c – коефіцієнти регресії.

За допомогою статистичних тестів доведено відсутність лінійної залежності між локальною волатильністю та датою калібрування і прийнято гіпотезу про незначущість фактора дати калібрування в моделі. За допомогою крос- та предиктивної валідації доведено неможливість використання дати калібрування як фактору прогнозування локальної волатильності і отже відхилено гіпотезу про предиктивну здатність моделі.

Оцінка якості і предиктивної здатності локальної волатильності в лінійній моделі залежності з неявною волатильностю «у грошах».

Побудовано модель залежності між неявною та локальною волатильністю «у грошах». Цей моделювання має на меті підтвердити чи спростувати гіпотезу про можливість прогнозувати майбутні значення неявної волатильності на основі локальної волатильності.

Для цього будуємо лінійну однофакторну регресію залежності між неявною і локальною волатильністю «у грошах» (просту та поліноміальну):

\[ \hat{\text{ImpliedVol}_{T}}(t) = a_{T} + b_{T}*\text{LocalVolATM}_{T}(t); \tag{4} \]

\[ \hat{\text{ImpliedVol}_{T}(t)} = a_{T} + b_{T}*\text{LocalVolATM}_{T}(t) +\\ c_{T}*{\text{LocalVolATM}_{T}(t)}^{2} + d_{T}*{\text{LocalVolATM}_{T}(t)}^{3}, \tag{5} \]

де \(\hat{\text{ImpliedVol}_{T}}(t)\) – модельне значення неявної волатильності в точці t для експірації Т, \(\text{LocalVolATM}_{T}(t)\) – скаліброване значення локальної волатильності в точці t для експірації Т, t – дата калібрування, a,b,c – коефіцієнти регресії. Тоді:

\[ \text{MSE}_{T} = \ \sum_{t}^{}\frac{\text{abs}(\text{ImpliedVol}_{T}(t) - \hat{\text{ImpliedVol}_{T}(t)})}{\text{ImpliedVol}_{T}(t)}. \tag{6} \]

За допомогою статистичних тестів доведено відсутність лінійної залежності між неявною та локальної волатильністю «у грошах» і прийнято гіпотезу про незначущість фактора локальної волатильності в моделі. В той же час за допомогою крос- та предиктивної валідації доведено можливість використання локальної волатильності як фактора прогнозування неявної волатильності і отже прийнято гіпотезу про предиктивну здатність моделі. Цей результат несе велику практичну цінність адже означає, що складний нелінійний взажмозвязок між локальною та неявною волатильністю, описаний в формулі Дюпіра, може бути замінений на простий лінійний з метою практичного прогнозування. Окрім цього, доведено, що проста лінійна регресійна модель працює краще в задачі прогнозування неявної волатильності, ніж поліноміальна лінійна модель, що особливо помітно на даних у кризові (волатильні) періоди.

Оцінка якості і предиктивної здатності локальної волатильності в однофакторній лінійній моделі залежності з ринковою волатильністю.

Це моделювання має на меті підтвердити чи спростувати гіпотезу про можливість прогнозувати майбутні значення ринкової волатильності на основі локальної волатильності «у грошах».

\(N\ X\ K\) матриця ринкової волатильності $_{t,T}$ є матрицею стандартних відхилень ціни акцій Microsoft між кожною датою калібрування \(t\) та експірацією \(T\), порахованою від дати калібрування (7).

\[ \text{RealizedVol}_{t,T} = \frac{S_{t + T} - S_{t}}{S_{t}}. \tag{7} \]

В попередньому дослідженні ми довели, що поліноміальна модель загалом не має кращої предиктивної здатності, тому в цьому дослідженні будуємо лінійну однофакторну регресію залежності між ринковою волатильністю і локальною волатильністю «у грошах»:

\[ \hat{\text{RealizedVol}_{T}(t)} = a_{T} + b_{T}*\text{LocalVolATM}_{T}(t), \tag{8} \]

де \(\text{RealizedVol}_{T}(t)\) – змодельоване значення ринкової волатильності для експірації Т у точці \(t\), а \(\text{LocalVolATM}_{T}(t)\) – локальна волатильність «у грошах» для експірації Т у точці \(t\).

Тоді:

\[ \text{MSE}_{T} = \ \sum_{t}^{}\frac{\text{abs}(\text{RealizedVol}_{T}(t) - \hat{\text{RealizedVol}_{T}(t)})}{\text{RealizedVol}_{T}(t)}. \tag{9} \]

За допомогою статистичних тестів доведено наявність лінійної залежності між ринковою волатильністю та довгостроковою локальною волатильністю «у грошах» і, відповідно, значущість довгострокової локальної волатильності в моделі.

За допомогою крос- та предиктивної валідації доведено неможливість прогнозування реальної волатильності з використанням фактора локальної волатильності на точках поза вибіркою.

Оцінка якості і предиктивної здатності локальної волатильності в багатофакторній лінійній моделі залежності з ринковою волатильністю.

Моделюємо ринкову волатильність в крайніх датах експірації 0.05 та 0.4 за допомогою багатофакторної регресії, де факторами виступають значення локальної волатильності у всі дати експірації для фіксованої дати калібрування \(t\). Отже, будуємо наступну модель для Т=0.05 та Т=0.4 (що передбачає прогнозування коротко- та довгострокової волатильності на ринку):

\[ \hat{\text{RealizedVol}_{T}(t)} = a_{T} + b_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{1}}\left( t \right) + c_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{2}}\left( t \right) + \\ d_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{3}}\left( t \right) + \\ e_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{4}}\left( t \right) + \\ f_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{5}}\left( t \right) + \\ g_{T}*\text{LocalVolATM}_{T_{6}}\left( t \right)\, \tag{10} \]

де \(\text{RealizedVol}_{T}(t)\) – змодельоване значення ринкової волатильності для експірації Т у точці \(t\), а \(\text{LocalVolATM}_{T}(t)\) – локальна водлатильність «у грошах» для експірації Т у точці \(t\), \(T1,...,T6\) – всі проміжні значення експірації.

Тоді:

\[ \text{MSE}_{T} = \ \sum_{t}^{}\frac{\text{abs}({\text{Reali}\text{zedVol}}_{T}(t) - \hat{\text{RealizedVol}_{T}(t)})}{\text{RealizedVol}_{T}(t)}. \tag{11} \]

Доведено, що саме довгострокова локальна волатильність є значущим фактором в прогнозуванні як короткострокової так і довгострокової ринкової волатильності. Це є важливим практичним результатом для наукового та бізнес товариств, адже тепер саме довгострокова локальна волатильність може вважатися ними пріоритетною для побудови арбітражних стратегій та використовуватися при оцінці опціонів на ринку та побудові інших моделей.

В той же час, за допомогою крос- та предиктивної валідації доведено неможливість використання локальної волатильності як фактора прогнозування ринкової волатильності і отже відхилено гіпотезу про предиктивну здатність моделі.

Таким чином, в цій роботі оцінено предиктивні здатності лінійних моделей на базі часових рядів локальної волатильності «у грошах», отриманих з даних цін на опціони Microsoft.

По-перше, доведено відсутність лінійної залежності між локальною волатильністю та датою калібрування і прийнято гіпотезу про незначущість фактора дати калібрування в моделі. Відхилено гіпотезу про предиктивну здатність моделі.

По-друге, доведено відсутність лінійної залежності між неявною та локальною волатильністю «у грошах» і прийнято гіпотезу про незначущість фактора локальної волатильності в моделі.

Доведено можливість використання локальної волатильності як фактора прогнозування неявної волатильності і отже прийнято гіпотезу про предиктивну здатність моделі. Цей результат несе велику практичну цінність адже означає, що складний нелінійний взаємозв’язок між локальною та неявною волатильністю, описаний в формулі Дюпіра, може бути замінений на простий лінійний з метою практичного прогнозування.

Окрім цього, доведено, що проста лінійна регресійна модель працює краще в задачі прогнозування неявної волатильності, ніж поліноміальна лінійна модель, що особливо помітно на даних у кризові (волатильні) періоди.

По-третє, доведено наявність лінійної залежності між ринковою волатильністю та довгостроковою локальною волатильністю «у грошах» і, відповідно, значущість довгострокової локальної волатильності в моделі.

Доведено неможливість прогнозування реальної волатильності з використанням фактора локальної волатильності на точках поза вибіркою.

Нарешті, доведено, що саме довгострокова локальна волатильність є значущим фактором в прогнозуванні як короткострокової так і довгострокової ринкової волатильності. Це є важливим практичним результатом для наукового та бізнес товариств, адже тепер саме довгострокова локальна волатильність може вважатися ними пріорітетною для побудови арбітражних стратегій та використовуватися при оцінці опціонів на ринку та побудові інших моделей.

Доведено неможливість використання локальної волатильності як фактора прогнозування ринкової волатильності і отже відхилено гіпотезу про предиктивну здатність моделі.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Dupire, B.: Pricing with a smile. Risk, 7(1), 18-20 (1994).
  2. Christensen, B.J., Prabhala, N.R.: The relation between implied and realized volatility, Journal of Financial Economics, 50, 125—150 (1998).
  3. Historical Options Data. Available at: https://www.ivolatility.com/data/historical_data2.html
  4. Rouaud, M.: Probability, Statistics and Estimation. http://www.incertitudes.fr/book.pdf. Accessed 3 February 2021.
  5. Fisher, R.: The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance, Philosophical Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 52, 399–433 (1918).
  6. Durbin, J.; Watson, G. S.: Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression, I. Biometrika, 37 (3–4), 409–428 (1950). DOI:10.1093/biomet/37.3-4.409
  7. Berrar, D.: Cross-validation, Reference Module in Life Sciences, 2018. DOI: 10.1016/B978-0-12-809633-8.20349-X