ЕФЕКТИВНІСТЬ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПОРТФЕЛЯ: ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ОЦІНОК ХАРАКТЕРИСТИК ПОРТФЕЛЯ З МАКСИМАЛЬНИМ ВІДНОШЕННЯМ ШАРПА

Заболоцький М.В.
д.ф.-м.н., професор
mykola.zabolotskyy@lnu.edu.ua
Заболоцький Т.М.
д.е.н., доцент
zjabka@yahoo.com
Львівський національний університет ім. І. Франка (Україна)

Розглянемо портфель з \(k\) фінансових активів за умови неможливості безризикового розміщення коштів. Позначимо \(X_t = (X_{1t}, X_{2t}, \dots, X_{kt})^{\prime}\) вектор дохідностей активів, \(X_{it}\) – дохідність активу \(i\) в момент часу \(t\), \(w = (w_1, w_2, … , w_k)^{\prime}\) – вектор ваг портфеля, де \(w_i\) – частка активу \(i\) в портфелі. Якщо вектор середніх \(\mu\) та коваріаційна матриця \(\Sigma\) вектора \(X_t\) не залежать від часу, тобто \(X_t\) поводиться як слабко стаціонарний процес, то ваги портфеля з максимальним відношенням Шарпа становлять [1].

\[ w_{SR} = \frac{\Sigma^{-1} \mu}{1^{\prime} \Sigma^{-1} \mu} \tag{1} \]

де \(1\) – \(k\)-вимірний вектор елементами якого є одиниці.

Оскільки ваги портфеля \(w_{SR}\) з максимальним відношенням Шарпа залежать від параметрів розподілу вектора \(X_t\), \(\mu\), \(\Sigma\), які невідомі на практиці, то використаємо вибіркові оцінки для оцінювання їх значень. Позначимо \({\hat{w}}_{SR}\) вибіркову оцінку вектора ваг w_SR. Завдяки популярності відношення Шарпа серед практиків фінансового ринку [2, ст. 49], такий портфель часто використовують як еталон ефективності управління портфелем. В [1] за припущення нормальності розподілу вектора \(X_t\) доведено, що для випадкової величини \(\widehat{w}_{SR}\) існують лише моменти порядку строго меншого за 1. Отже, не існує математичного сподівання для вибіркових оцінок очікуваної дохідності та дисперсії портфеля з вагами \(\hat{w}_{SR}\), що робить неможливою їх коректну інтерпретацію.

Будь-який ефективний портфель може бути отриманий як розв’язок задачі максимізації очікуваної корисності за певного значення коефіцієнта \(β\), що описує ставлення інвестора до ризику. Портфель з максимальною очікуваною корисністю має вигляд [1]

\[ w_{EU} = \frac{\Sigma^{-1} 1}{1^{\prime} \Sigma^{-1} 1} + \beta^{-1}R\mu, R=\Sigma^{-1}-\frac{\Sigma^{-1}11^{\prime}\Sigma^{-1}}{1^{\prime}\Sigma^{-1}1} \tag{2} \]

Оскільки портфель з максимальним відношенням Шарпа ефективний за Марковіцем, то існує таке значення \(β=β_{SR}\), за якого портфель з максимальним відношенням Шарпа буде еквівалентний портфелю з максимальною очікуваною корисністю. Прирівнюючи вектори ваг портфелів (1) та (2), отримаємо

\[ \beta_{SR} = 1^{\prime}\Sigma^{-1}\mu. \tag{3} \]

На практиці використати (3) для обчислення коефіцієнта ризику \(β=β_{SR}\) не можемо, натомість повинні користуватися його вибірковою оцінкою \(\hat{β}=β_{SR}\), яка є випадковою величиною. Для прийняття коректних рішень необхідно вивчити її ймовірнісні властивості. З цією метою нам потрібно конкретизувати припущення щодо вектора дохідностей активів. Нехай вектор \(X_t\) має багатовимірний еліптичний розподіл \((X_t\sim E_k(\mu, \Sigma/γ^2, ψ))\), властивості якого можна знайти, наприклад, у [3]. За такого припущення маємо

\[ \sqrt{n}(\hat{β}_{SR}-β_{SR}) \xrightarrow{d} = N(0, \sigma^2_{SR}), n \rightarrow \infty, \]

де \(\xrightarrow{d}\) означає збіжність за розподілом, а \(σ^2_{SR}=(1+ λµ^{\prime}*Rµ)1^{\prime}Σ^{–1}1 + 2λ(1^{\prime}Σ^{–1}µ)^2\), \(λ = ψ(0) / (ψ''(0))^2\). Крім того, неважко показати, що вибіркова оцінка параметра \(\hat{σ}^2_{SR}\) є консистентна, тобто \(\hat{σ}^2_{SR} \xrightarrow{a.s.} {σ}^2_{SR}\), \(n \rightarrow \infty\), де \(\xrightarrow{a.s.}\) означає збіжність майже напевно, а отже, може бути використана на практиці.

Як наслідок з отриманого асимптотичного розподілу отримуємо асимптотичний \((1–γ)\) інтервал довіри для параметра \(β_{SR}\)

\[ [\hat{β}_{SR} - \frac{ \hat{\sigma}_{SR} }{ \sqrt{n} } z_{1-\gamma/2}; \hat{β}_{SR} + \frac{ \hat{\sigma}_{SR} }{ \sqrt{n} } z_{1-\gamma/2}], \]

де \(z_γ\) – \(γ\) квантиль стандартного нормального розподілу. Відповідно всі значення коефіцієнта ризику \(β\), які належать побудованому інтервалу, статистично не відрізняються від значення цього коефіцієнта для портфеля з максимальним відношенням Шарпа. Тому на практиці при аналізі характеристик портфеля з максимальним відношенням Шарпа він може бути замінений на статистично еквівалентний портфель з максимальною очікуваною корисністю, що істотно спростить інтерпретацію результатів.

ЛІТЕРАТУРА

Okhrin Y. Distributional properties of optimal portfolio weights / Y. Okhrin, W. Schmid // Journal of econometrics. – 2006. – № 134. – P. 235 – 256.
Хохлов В. Ю. Математичні методи в управлінні портфелем цінних паперів / В. Ю. Хохлов. – К.: Кондор-Видавництво, 2017. – 298 с.
Fang K. T. Symmetric multivariate and related distributions / K. T. Fang, S. Kotz, K. W. Ng. – London : Chapman and Hall. 1990. – 220 p.